Calcolo del momento di inerzia di un cono

CALCOLO DEL MOMENTO DI INERZIA DI UN CONO

Sia dato un cono di materiale omogeneo avente densità d, raggio di base R ed altezza H. Si vogli determinare il momento di inerzia di massa della figura appena descritta.

Il problema può essere risolto prendendo in considerazione il cono come composto da infiniti cilindri (aventi asse coincidenti con quello del cono(di spessore dz il cui raggio di base varia tra zero e R. E’ stato fissato infatti un asse z la cui origine coincide con il vertice del cono. Così facendo il generico cilindro facente parte del cono avrà raggio:

r(z) = R*z/h

La massa del cilindro considerato sarà data dal prodotto del suo volume per la densità. Pertanto:

dm = π r(z)^2 d dz

Ora il momento di inerzia di un cilindro calcolato rispetto al suo asse è dato da:

Jz = m r^2/2

Pertanto il momento di inerzia infinitesimo del nostro cilindro sarà:

dJz = dm r(z)^2/2 = π r(z)^2 d dz r(z)^2/2 = π r(z)^4 d dz/2 = π (R*z/h)^4 d dz/2

Ora integrando tra zero ed h possiamo ottenere il valore del momento di inerzia cercato:

Jz = π (R/h)^4 d/2 ∫ z^4 dz = π R^4 d h /10

Ora ricordandoci che la massa di un cono è data da:

m = π R^2 h d/3

possiamo scrivere il risultato finale:

Jz = 3/10 m R^2